Постоянный и переменный ток лекция. Московский государственный университет печати. Основные понятия и формулы

§ 12 - 1Получение переменного тока.

Переменнвм током называется ток, направление которого периодичемки изменяется с течением времени. Основным устройством, которое используется для получения перемен-

где a - угол между направлением магнитного поля В и нормалью к площади рамки S. На-правление тока в рамке в выбранный момент времени определяется по правилу правой руки. Нетрудно видеть, что направление токов в верхнем и нижнем проводниках противо-положны друг другу. Концы рамки подключаются к кольцам, которые, в свою очередь, с помощью скользящих контактов подсоединены к выходным клеммам генератора. В мощных генераторах рамка содержит несколько десятков или сотен витков, токи в ней достигают значительной величины, поэтому сама рамка делается неподвижной, чтобы избе-жать трущихся контактов, а магнитная система вращается вокруг рамки. Частота вращения является госудаоственным стандартом: в США это 60Гц, в Росси –50 Гц.

§ 12 –2 Квазистационарные токи.

Квазистационарным называется переменный ток, для которого в любой омент времени оказывается справедливым закон Ома, сформулированный ранее для постоянного тока. Это означает, что в неразветвленных цепях сила тока, проходящего через любой элемент цепи, в данный момент времени одинакова для всех элементов. Неквазистационарными токи становятся тогда, когда частота колебаний достигает очень больших значений – таких, что соответствующая им длина волны l = сТ, где с –скорость света, а Т –период колебаний, становится сравнимой с геометрическими размерами цепи. Например, для промышленного тока 50 Гц эта длина волны равна 6000 км.

В прошлом семестре было показано, что на длине волны амплитуды колебаний в разных точках пространства различны, изменяясь от максимума до нуля и нооборот через каждые l/4. Поэтому мгновеннве значения ока будут одинаковы тогда, когда l>> l , где l – длина цепи.

лагая, что условие квазистационарности выполнено. Тогда

E k , (ХХ)

где = U C - напряжение на конденсаторе, а суммарная ЭДС складывается из ЭДС источника тока и ЭДС самоиндукции E L:

E k = E L + E (t), E L = - .

Обычно величину называют падением напряжения на индуктивности и обозна-чают U L , т.е. U L = , произведение IR =U R –падением напряжения на сопротивлении. С учетом этого уравнение (ХХ) можно преобразовать:

U R + U L + U C = E (t). (ХХХ)

Вспоминая, что и заменяя величины U C и U L , получим

E (t). (¨¨¨)

Предположим, что ток в нашей цепи изменяется по синусоидальному закону: I = I 0 sinwt.

Тогда U R = I 0 R sinwt , U L = wLI 0 coswt = wLI 0 sin(wt -p/2),

Эти соотношения должны быть спаведливыми в любой момент времени, поэтому они спра-ведливы и для амплитудных значений, т.е.
.

Трактуя эти равенства как закон Ома для участка цепи, можно заметить, что величины Z L =wL и Z C = аналогичны по своему значению сопротивлению R. Используя такую

интерпретацию, можно видеть, что уравнение (¨¨¨) приобретает тригонометрический смысл: напряжения на емкости и индуктивности оказываются сдвинутыми по фазе на ±p/2 относительно напряжения на сопротивлении R. Здесь удобнее использовать векторное представление колебаний, которое рассматривалось в прошлом семестре. Любое гармо-ническое колебание y(t) = Asin(wt + j) можно представить в векторном виде: длина вектора определяется амплитудой колебаний А, начальная фаза определяет угол отклонения вектора от горизональной оси, а w - частоту, с которой вектор вращается вокруг начала координат. В этом представлении напряжение на сопротивлении R изображается в виде горизонтально-

или, выражая U R , U L и U C через произведения тока на соответствующие сопротивления,

.

Извлекая квадратный корень из обеих частей последнего равенства, получим:

. (·)

При выводе этого выражения учтено, что для последовательной цепи I R = I L = I C =I. Полученное выражение по своей структуре аналогично закону Ома для цепи постоянного тока. Поэтому оно называется законом Ома для переменного тока . Важно отметить, что между током и напряжением существует сдвиг фаз, величина которого определяется из рис.30:

или .

§ 12 – 4 Мощность переменного тока.

Лекция 13-14.

1 . Принцип получения переменной ЭДС

Переменный ток имеет ряд преимуществ по сравнению с постоянным: генератор переменного тока значительно проще и дешевле генератора постоянного тока; переменный ток можно трансформировать; переменный ток легко преобразуется в постоянный; двигатели переменного тока значительно проще и дешевле, чем двигатели постоянного тока.

В принципе переменным током можно назвать всякий ток, который с течением времени изменяет свою величину, но в технике переменным током называют такой ток, периодически изменяет и величины и направление. Причем среднее значение силы такого тока за период Т равно нулю. Периодическим переменный ток называется потому, что через промежутки времени Т, характеризующие его физические величины принимают одинаковые значения.

В электротехнике наибольшее распространение получил синусоидальный переменный ток, т.е. ток, величина которого изменяется по закону синуса (или косинуса), обладающий рядом достоинств по сравнению с другими периодическими токами.

Переменный ток промышленной частоты получают на электростанциях с помощью генераторов переменного тока (трехфазных синхронных генераторов). Это довольно сложные электрические машины, рассмотрим только физические основы их действия, т.е. идею получения переменного тока.

Пусть в однородном магнитном поле постоянного магнита равномерно вращается с угловой скоростью? рамка площадью S .(рис. 1).

Магнитный поток через рамку будет равен:

Ф=BS cos? (1.1)

где? - угол между нормалью к рамке n и вектором магнитной индукции B. Поскольку при равномерном вращении рамки?= ?/t, то угол? будет изменяться по закону?= ? t и формула(1.1) примет вид:

Ф=BScos?t (1.2)

Поскольку при вращении рамки пересекающий ее магнитный поток все время меняется, то по закону электромагнитной индукции в ней будет наводиться ЭДС индукции Е:

Е = -d Ф /dt =BS?sin?t =E0sin?t (1.3)

где Е0 = BS? - амплитуда синусоидальной ЭДС. Таким образом, в рамке возникнет синусоидальная ЭДС, а если замкнуть рамку на нагрузку, то в цепи потечет синусоидальный ток.

Величину?t = 2?t/Т = 2?ft, стоящую под знаком синуса или косинуса, называют фазой колебаний, описываемых этими функциями. Фаза определяет значение ЭДС в любой момент времени t. Фаза измеряется в градусах или радианах.

Время Т одного полного изменения ЭДС (это время одного оборота рамки) называют периодом ЭДС. Изменение ЭДС со временем может быть изображено на временной диаграмме (рис. 2).

Величину, обратную периоду, называют частотой f = 1/T. Если период измеряется в секундах, то частота переменного тока измеряется в Герцах. В большинстве стран, включая Россию, промышленная частота переменного тока составляет 50Гц (в США и Японии - 60 Гц).

Величина промышленной частоты переменного тока обусловлена технико-экономическими соображениями. Если она слишком низка, то увеличиваются габариты электрических машин и, следовательно, расход материалов на их изготовление; заметным становится мигание света в электрических лампочках. При слишком высоких частотах увеличиваются потери энергии в сердечниках электрических машин и трансформаторах. Поэтому наиболее оптимальными оказались частоты 50 - 60 Гц. Однако, в некоторых случаях используются переменные токи как с более высокой, так и более низкой частотой. Например, в самолетах применяется частота 400 Гц. На этой частоте можно значительно уменьшить габариты и вес трансформаторов и электромоторов, что для авиации более существенно, чем увеличение потерь в сердечниках. На железных дорогах используют переменный ток с частотой 25 Гц и даже 16,66 Гц.

Лекция 13-14

Переменный ток

Как известно, сила тока в любой момент времени пропорциональна ЭДС источника тока (закон Ома для полной цепи). Если ЭДС источника не изменяется со временем и остаются неизменными параметры цепи, то через некоторое время после замыкания цепи изменения силы тока прекращаются, в цепи течет постоянный ток.

Однако в современной технике широко применяются не только источники постоянного тока, но и различные генераторы электрического тока, в которых ЭДС периодически изменяется. При подключении в электрическую цепь генератора переменной ЭДС в цепи возникают вынужденные электромагнитные колебания или переменный ток.

Переменный ток – это периодические изменения силы тока и напряжения в электрической цепи, происходящие под действием переменной ЭДС от внешнего источника

или

Переменный ток – это электрический ток, который изменяется с течением времени по гармоническому закону.

Мы в дальнейшем будем изучать вынужденные электрические колебания, происходящие в цепях под действием напряжения, гармонически меняющегося с частотой ω по синусоидальному или косинусоидальному закону:

u = Um ⋅ sin ωt

или u = Um ⋅ cos ωt

где u – мгновенное значение напряжения, U m – амплитуда напряжения, ω – циклическая частота колебаний. Если напряжение меняется с частотой ω , то и сила тока в цепи будет меняться с той же частотой, но колебания силы тока не обязательно должны совпадать по фазе с колебаниями напряжения. Поэтому в общем случае

i = Im ⋅ sin( ωt + φc )

где φ c – разность (сдвиг) фаз между колебаниями силы тока и напряжения.

Переменный ток обеспечивает работу электрических двигателей в станках на заводах и фабриках, приводит в действие осветительные приборы в наших квартирах и на улице, холодильники и пылесосы, отопительные приборы и т.п. Частота колебаний напряжения в сети равна 50 Гц. Такую же частоту колебаний имеет и сила переменного тока. Это означает, что на протяжении 1 с ток 50 раз поменяет свое направление. Частота 50 Гц принята для промышленного тока во многих странах мира. В США частота промышленного тока 60 Гц.

Резистор в цепи переменного тока

Пусть цепь состоит из проводников с малой индуктивностью и большим сопротивлением R (из резисторов). Например, такой цепью может быть нить накаливания электрической лампы и подводящие провода. Величину R , которую мы до сих пор называли электрическим сопротивлением или просто сопротивлением, теперь будем называть активным сопротивлением . В цепи переменного тока могут быть и другие сопротивления, зависящие от индуктивности цепи и ее емкости. Сопротивление R называется активным потому, что, только на нем выделяется энергия, т.е.

Сопротивление элемента электрической цепи (резистора), в котором происходит превращение электрической энергии во внутреннюю энергию, называют активным сопротивлением .

Итак, в цепи имеется резистор, активное сопротивление которого R , а катушка индуктивности и конденсатор отсутствуют (рис. 1).

Рис. 1

u = Um ⋅ sin ωt

Как и в случае постоянного тока, мгновенное значение силы тока прямо пропорционально мгновенному значению напряжения. Поэтому можно считать, что мгновенное значение силы тока определяется законом Ома:

i = UR = Um ⋅ sin ω tR = Im ⋅ sin ω t

Следовательно, в проводнике с активным сопротивлением колебания силы тока по фазе совпадают с колебаниями напряжения (рис. 2), а амплитуда силы тока равна амплитуде напряжения, деленной на сопротивление:

Рис. 2

При небольших значениях частоты переменного тока активное сопротивление проводника не зависит от частоты и практически совпадает с его электрическим сопротивлением в цепи постоянного тока.

Катушка в цепи переменного тока

Индуктивность влияет на силу переменного тока в цепи. Это можно обнаружить с помощью простого опыта. Составим цепь из катушки большой индуктивности и лампы накаливания (рис. 3). С помощью переключателя можно присоединять эту цепь либо к источнику постоянного напряжения, либо к источнику переменного напряжения. При этом постоянное напряжение и действующее значение переменного напряжения должны быть одинаковы. Опыт показывает, что лампа светится ярче при постоянном напряжении. Следовательно, действующее значение силы тока в рассматриваемой цепи меньше силы постоянного тока.

Рис. 3

Объясняется это самоиндукцией. При подключении катушки к источнику постоянного напряжения сила тока в цепи нарастает постепенно. Возникающее при нарастании силы тока вихревое электрическое поле тормозит движение электронов. Лишь по прошествии некоторого времени сила тока достигает наибольшего (установившегося) значения, соответствующего данному постоянному напряжению. Если напряжение быстро меняется, то сила тока не будет успевать достигать тех установившихся значений, которые она приобрела бы с течением времени при постоянном напряжении, равном максимальному значению переменного напряжения. Следовательно, максимальное значение силы переменного тока (его амплитуда) ограничивается индуктивностью L цепи и будет тем меньше, чем больше индуктивность и чем больше частота приложенного напряжения.

Докажем это математически. Пусть в цепь переменного тока включена идеальная катушка с электрическим сопротивлением провода, равным нулю (рис. 4). При изменениях силы тока по гармоническому закону

i = Im ⋅ cos ωt

в катушке возникает ЭДС самоиндукции

e =− L ⋅ i ′= Im ⋅ L ⋅ ω ⋅ sin ωt

где L – индуктивность катушки, ω – циклическая частота переменного тока.

Рис. 4

Так как электрическое сопротивление катушки равно нулю, то ЭДС самоиндукции в ней в любой момент времени равна по модулю и противоположна по знаку напряжению на концах катушки, созданному внешним генератором:

u =− e =− Im ⋅ L ⋅ ω ⋅ sin ωt

Следовательно, при изменении силы тока в катушке по гармоническому закону напряжение на ее концах изменяется тоже по гармоническому закону, но со сдвигом фазы:

u = Im ⋅ L ⋅ ω ⋅ cos( ωt + π 2)

Следовательно, колебания напряжения на катушке индуктивности опережают колебания силы тока на π/2, или, что то же самое, колебания силы тока отстают по фазе от колебаний напряжения на π/2.

В момент, когда напряжение на катушке достигает максимума, сила тока равна нулю (рис. 5). В момент, когда напряжение становится равным нулю, сила тока максимальна по модулю.

Рис. 5

Произведение Im ⋅ L ⋅ ω

является амплитудой колебаний напряжения на катушке:

Um = Im ⋅ L ⋅ ω

Отношение амплитуды колебаний напряжения на катушке к амплитуде колебаний силы тока в ней называется индуктивным сопротивлением (обозначается X L ):

XL = UmIm = L ⋅ ω

Связь амплитуды колебаний напряжения на концах катушки с амплитудой колебаний силы тока в ней совпадает по форме с выражением закона Ома для участка цепи постоянного тока:

Im = UmXL

В отличие от электрического сопротивления проводника в цепи посто-янного тока, индуктивное сопротивление не является постоянной величиной, характеризующей данную катушку. Оно прямо пропорционально частоте переменного тока. Поэтому амплитуда колебаний силы тока в катушке при постоянном значении амплитуды колебаний напряжения должна убывать обратно пропорционально частоте. Постоянный ток вообще «не замечает» индуктивности катушки. При ω = 0 индуктивное сопротивление равно нулю (X L = 0).

Зависимость амплитуды колебаний силы тока в катушке от частоты приложенного напряжения можно наблюдать в опыте с генератором пере-менного напряжения, частоту которого можно изменять. Опыт показывает, что увеличение в два раза частоты переменного напряжения приводит к уменьшению в два раза амплитуды колебаний силы тока через катушку.

Конденсатор в цепи переменного тока

Рассмотрим процессы, протекающие в электрической цепи переменного тока с конденсатором. Если подключить конденсатор к источнику постоянного тока, то в цепи возникнет кратковременный импульс тока, который зарядит конденсатор до напряжения источника, а затем ток прекратится. Если заряженный конденсатор отключить от источника постоянного тока и соединить его обкладки с выводами лампы накаливания, то конденсатор будет разряжаться, при этом наблюдается кратковременная вспышка лампы.

При включении конденсатора в цепь переменного тока процесс его зарядки длится четверть периода. После достижения амплитудного значения напряжение между обкладками конденсатора уменьшается и конденсатор в течение четверти периода разряжается. В следующую четверть периода конденсатор вновь заряжается, но полярность напряжения на его обкладках изменяется на противоположную и т.д. Процессы зарядки и разрядки конденсатора чередуются с периодом, равным периоду колебаний приложенного переменного напряжения.

Как и в цепи постоянного тока, через диэлектрик, разделяющий обкладки конденсатора, электрические заряды не проходят. Но в результате периодически повторяющихся процессов зарядки и разрядки конденсатора по проводам, соединенным с его выводами, течет переменный ток. Лампа накаливания, включенная последовательно с конденсатором в цепь переменного тока (рис. 6), кажется горящей непрерывно, так как человеческий глаз при высокой частоте колебаний силы тока не замечает периодического ослабления свечения нити лампы.

Рис. 6

Установим связь между амплитудой колебаний напряжения на обкладках конденсатора и амплитудой колебаний силы тока. При изменениях напряжения на обкладках конденсатора по гармоническому закону

u = Um ⋅ cos ωt

заряд на его обкладках изменяется по закону:

q = C ⋅ u = Um ⋅ C ⋅ cos ωt

Электрический ток в цепи возникает в результате изменения заряда конденсатора: i = q ’. Поэтому колебания силы тока в цепи происходят по закону:

i =− Um ⋅ ω ⋅ C ⋅ sin ωt = Um ⋅ ω ⋅ C ⋅ cos( ωt + π 2)

Следовательно, колебания напряжения на обкладках конденсатора в цепи переменного тока отстают по фазе от колебаний силы тока на π/2 или колебания силы тока опережают по фазе колебания напряжения на π/2 (рис. 7). Это означает, что в момент, когда конденсатор начинает заряжаться, сила тока максимальна, а напряжение равно нулю. После того как напряжение достигает максимума, сила тока становится равной нулю и т.д.

Рис. 7

Произведение Um ⋅ ω ⋅ C

является амплитудой колебаний силы тока:

Im = Um ⋅ ω ⋅ C

Отношение амплитуды колебаний напряжения на конденсаторе к амплитуде колебаний силы тока называют емкостным сопротивлением конденсатора (обозначается Х C ):

XC = UmIm =1 ω ⋅ C

Связь между амплитудным значением силы тока и амплитудным значением напряжения по форме совпадает с выражением закона Ома для участка цепи постоянного тока, в котором вместо электрического сопротивления фигурирует емкостное сопротивление конденсатора:

Im = UmXC

Емкостное сопротивление конденсатора, как и индуктивное сопротивление катушки, не является постоянной величиной. Оно обратно пропорционально частоте переменного тока. Поэтому амплитуда колебаний силы тока в цепи конденсатора при постоянной амплитуде колебаний напряжения на конденсаторе возрастает прямо пропорционально частоте.

Закон Ома для электрической цепи переменного ток

Рассмотрим электрическую цепь, состоящую из последовательно соединенных резистора, конденсатора и катушки (рис. 8). Если к выводам этой электрической цепи приложить электрическое напряжение, изменяющееся по гармоническому закону с частотой ω и амплитудой U m , то в цепи возникнут вынужденные колебания силы тока с той же частотой и некоторой амплитудой I m . Установим связь между амплитудами колебаний силы тока и напряжения.

Рис. 8

В любой момент времени сумма мгновенных значений напряжений на последовательно включенных элементах цепи равна мгновенному значению приложенного напряжения:

u = uR + uL + uC

. (1)

Во всех последовательно включенных элементах цепи изменения силы тока происходят практически одновременно, так как электромагнитные взаимодействия распространяются со скоростью света. Поэтому можно считать, что колебания силы тока во всех элементах последовательной цепи происходят по закону:

i = Im ⋅ cos ωt

. (2)

Колебания напряжения на резисторе совпадают по фазе с колебаниями силы тока, колебания напряжения на конденсаторе отстают по фазе на π /2 от колебаний силы тока, а колебания напряжения на катушке опережают по фазе колебания силы тока на π /2. Поэтому уравнение (1) можно записать так:

u = URm ⋅ cos ωt + ULm ⋅ cos( ωt + π 2)+ UCm ⋅ cos( ωt − π 2)

, (3)

где U Rm , U Cm и U Lm – амплитуды колебаний напряжения на резисторе, конденсаторе и катушке.

Амплитуду колебаний напряжения в цепи переменного тока можно выразить через амплитудные значения напряжения на отдельных ее элементах, воспользовавшись методом векторных диаграмм.

При построении векторной диаграммы необходимо учитывать, что колебания напряжения на резисторе совпадают по фазе с колебаниями силы тока, поэтому вектор, изображающий амплитуду напряжения U Rm , совпадает по направлению с вектором, изображающим амплитуду силы тока I m . Колебания напряжения на конденсаторе отстают по фазе на π /2 от колебаний силы тока, поэтому вектор U ⃗ Cm

отстает от вектора I ⃗ m на угол 90°. Колебания напряжения на катушке опережают колебания силы тока по фазе на π /2, поэтому вектор U ⃗ Lm опережает вектор I ⃗ m

на угол 90° (рис. 9).

Рис. 9

На векторной диаграмме мгновенные значения напряжения на резисторе, конденсаторе и катушке определяются проекциями на горизонтальную ось векторов U ⃗ Rm

, U ⃗ Cm и U ⃗ Lm , вращающихся с одинаковой угловой скоростью ω против часовой стрелки. Мгновенное значение напряжения во всей цепи равно сумме мгновенных напряжений u R , u C и u L на отдельных элементах цепи, т. е. сумме проекций векторов U ⃗ Rm , U ⃗ Cm и U ⃗ Lm

на горизонтальную ось. Так как сумма проекций векторов на произвольную ось равна проекции суммы этих векторов на ту же ось, то амплитуду полного напряжения можно найти как модуль суммы векторов:

U ⃗ m = U ⃗ Rm + U ⃗ Cm + U ⃗ Lm

Из рисунка 9 видно, что амплитуда напряжений на всей цепи равна

Um = U 2 Rm +(ULm − UCm )2−−−−−−−−−−−−−−−−− √

, (4)

или

Um =(ImR )2+(ImXL − ImXC )2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− √ = Im ⋅ R 2+(XL − XC )2−−−−−−−−−−−−−− √ = Im ⋅ R 2+(Lω −1 Cω )2−−−−−−−−−−−−−− √

.

Отсюда

Im = UmR 2+(Lω −1 Cω )2 √

. (5)

Введя обозначение для полного сопротивления цепи переменного тока

Z = R 2+(Lω −1 Cω )2−−−−−−−−−−−−−− √

, (6)

выразим связь между амплитудными значениями силы тока и напряжения в цепи переменного тока следующим образом:

Im = UmZ

. (7)

Это выражение называют законом Ома для цепи переменного тока .

Из векторной диаграммы, приведенной на рисунке 9, видно, что фаза колебаний полного напряжения равна ω∙t + φ . Поэтому мгновенное значение полного напряжения определяется формулой:

u = Um ⋅ cos(ωt + φ )

. (8)

Начальную фазу φ можно найти из векторной диаграммы:

cos φ = URmUm = Im ⋅ RIm ⋅ R 2+(Lω −1 Cω )2 √ = RZ

. (9)

Величина cos φ играет важную роль при вычислении мощности в электрической цепи переменного тока.

Мощность в цепи переменного тока

Мощность в цепи постоянного тока определяется произведением напряжения на силу тока:

P = U ⋅ I

.

Физический смысл этой формулы прост: так как напряжение U численно равно работе электрического поля по перемещению единичного заряда, то произведение U∙I характеризует работу по перемещению заряда за единицу времени, протекающего через поперечное сечение проводника, т.е. является мощностью. Мощность электрического тока на данном участке цепи положительна, если энергия поступает к этому участку из остальной сети, и отрицательна, если энергия с этого участка возвращается в сеть. На протяжении очень малого интервала времени переменный ток можно считать неизменным. Поэтому мгновенная мощность в цепи переменного тока определяется такой же формулой:

p = u ⋅ i

.

Пусть напряжение на концах цепи меняется по гармоническому закону

u = Um ⋅ cos ωt

(с тем же успехом, разумеется, вместо u = Um ⋅ cos ωt

можно было бы записать u = Um ⋅ sin ωt

), то и сила тока будет меняться со временем гармонически с той же частотой, но в общем случае будет сдвинута по фазе относительно напряжения:

i = Im ⋅ cos( ω t + φ c )

,

где φ c – сдвиг фаз между силой тока и напряжением. Поэтому для мгновенной мощности можно записать:

p = u ⋅ i = Um ⋅ Im ⋅ cos ωt ⋅ cos(ωt + φc )

.

При этом мощность меняется со временем как по модулю, так и по знаку. В течение одной части периода энергия поступает к данному участку цепи (р > 0), но в течение другой части периода некоторая доля энергии вновь возвращается в сеть (р < 0). Как правило, во всех случаях нам надо знать среднюю мощность на участке цепи за достаточно большой промежуток времени, включающий много периодов. Для этого достаточно определить среднюю мощность за один период.

Чтобы найти среднюю мощность за период, преобразуем полученную формулу таким образом, чтобы выделить в ней член, не зависящий от времени. С этой целью воспользуемся известной формулой для произведения двух косинусов:

cos α ⋅ cos β =cos(α − β )+cos(α + β )2

.

В рассматриваемом случае α = ω∙t и β = ω∙t + φ c . Поэтому

p = Um ⋅ Im 2= Um ⋅ Im 2cos φc + Um ⋅ Im 2cos(2 ωt + φc )

.

Выражение для мгновенное мощности состоит из двух слагаемых. Первое не зависит от времени, а второе дважды за каждый период изменения напряжения изменяет знак: в течение какой-то части периода энергия поступает в цепь от источника переменного напряжения, а в течении другой части возвращается обратно. Поэтому среднее значение второго слагаемого за период равно нулю. Следовательно, средняя мощность Р за период равна первому члену, не зависящему от времени:

P = Um ⋅ Im 2cos φc

. (10)

При совпадении фазы колебаний силы тока и напряжения (для активного сопротивления R ) среднее значение мощности равно:

P = Um ⋅ Im 2= I 2 m ⋅ R 2

.

Для того чтобы формула для расчета мощности переменного тока совпадала по форме с аналогичной формулой для постоянного тока (Р = I∙U = I 2 ∙ R ), вводятся понятия действующих значений силы тока и напряжения. Из равенства мощностей получим

P = I 2 m ⋅ R 2= I 2 ⋅ R

или I 2 m 2= I 2

.

Действующим значением силы тока называют величину, в 2–√

раз меньшую ее амплитудного значения:

I = Im 2√

.

Действующее значение силы тока равно силе такого постоянного тока, при котором средняя мощность, выделяющаяся в проводнике в цепи переменного тока, равна мощности, выделяющейся в том же проводнике в цепи постоянного тока.

Аналогично можно доказать, что

действующее значение переменного напряжения в 2–√

раз меньше его амплитудного значения:

U = Um 2√

.

Заметим, что обычно электрическая аппаратура в цепях переменного тока показывает действующие значения измеряемых величин. Переходя к действующим значениям силы тока и напряжения, уравнение (10) можно переписать:

P = Um 2√ ⋅ Im 2√cos φc = U ⋅ I cos φc

. (10)

Таким образом, мощность переменного тока на участке цепи определяется именно действующими значениями силы тока и напряжения. Она зависит также от сдвига фаз φ c между напряжением и током. Множитель cos φ c в формуле называется коэффициентом мощности .

В случае, когда φ c = ± π /2 , энергия, поступающая к участку цепи за период, равна нулю, хотя в цепи и существует ток. Так будет, в частности, если цепь содержит только катушку индуктивности или только конденсатор. Как же средняя мощность может оказаться равной нулю при наличии тока в цепи? Это поясняют приведенные на рисунке 10 графики изменения со временем мгновенных значений напряжения, силы тока и мощности при φ c = - π /2 (чисто индуктивное сопротивление участка цепи). График зависимости мгновенной мощности от времени можно получить, перемножая значения силы тока и напряжения в каждый момент времени. Из этого графика видно, что в течение одной четверти периода мощность положительна и энергия поступает к данному участку цепи; но в течение следующей четверти периода мощность отрицательна, и данный участок отдает без потерь обратно в сеть полученную ранее энергию. Поступающая в течение четверти периода энергия запасается в магнитном поле тока, а затем без потерь возвращается в сеть.

Рис. 10

Лишь при наличии проводника с активным сопротивлением в цепи, не содержащей движущихся проводников, электромагнитная энергия превращается во внутреннюю энергию проводника, который нагревается. Обратного превращения внутренней энергии в электромагнитную на участке с активным сопротивлением уже не происходит.

При проектировании цепей переменного тока нужно добиваться, чтобы cos φ c не был мал. Иначе значительная часть энергии будет циркулировать по проводам от генератора к потребителям и обратно. Так как провода обладают активным сопротивлением, то при этом энергия расходуется на нагревание проводов.

Неблагоприятные условия для потребления энергии возникают при включении в сеть электродвигателей, так как их обмотка имеет малое активное сопротивление и большую индуктивность. Для увеличения cos φ c в сетях питания предприятий с большим числом электродвигателей включают специальные компенсирующие конденсаторы. Нужно также следить, чтобы электродвигатели не работали вхолостую или с недогрузкой. Это уменьшает коэффициент мощности всей цепи. Повышение cos φ c является важной народнохозяйственной задачей, так как позволяет с максимальной отдачей использовать генераторы электростанций и снизить потери энергии. Это достигается правильным проектированием электрических цепей. Запрещается использовать устройства с cos φ c < 0,85.

1. Переменный ток и переменное напряжение. Сопротивление участка цепи при протекании переменного тока.

2. Протекание переменного тока по резистору. Сопротивление резистора, действующие значения тока и напряжения.

3. Конденсатор в цепи переменного тока, емкостное сопротивление.

4. Протекание переменного тока по идеальной катушке индуктивности, индуктивное сопротивление.

5. Протекание переменного тока по RLC-цепочке, импеданс. Резонанс напряжений. RCR-цепочка.

6. Импеданс тканей организма. Эквивалентная электрическая схема тканей. Реография.

7. Основные понятия и формулы.

8. Задачи.

15.1. Переменный ток и переменное напряжение. Сопротивление участка цепи при протекании переменного тока

В широком смысле «переменным» называют любой ток, который изменяется с течением времени по величине и направлению. В технике переменным называют ток, который изменяется со временем по гармоническому закону. Такой ток мы и будем рассматривать:

Переменный ток представляет собой вынужденные электромагнитные колебания, которые возникают при подключении какоголибо прибора к сети переменного напряжения:

Обычно начало отсчета времени выбирают так, чтобы для напряжения электрической сети начальная фаза была равна нулю. Поэтому в формуле (15.2) нет слагаемого φ 0 .

В цепи постоянного тока отношение напряжения к силе тока называется сопротивлением участка цепи (R = U/I). Аналогично вводят понятие сопротивления и для цепи переменного тока. Его величина обозначается буквой Х.

Сопротивление участка цепи в сети переменного тока равно отношению амплитудного значения переменного напряжения на этом участке к амплитудному значению силы тока в нем:

Максимальное значение переменного тока (I max) и его начальная фаза (φ 0) зависят от свойств элементов, входящих в электрическую схему прибора. Рассмотрим протекание переменного тока по таким элементам.

15.2. Протекание переменного тока по резистору. Сопротивление резистора, действующие значения тока и напряжения

Резистором называется проводник, не обладающий индуктивностью и емкостью.

Для всех частот переменного тока, который используется в технике, сопротивление резистора (X R) остается постоянным и совпадает с его сопротивлением в цепи постоянного тока:

Резистор - единственный элемент, для которого ток и напряжение совпадают по фазе. Для того чтобы показать разность фаз между током и напряжением в общем случае, используют векторную диаграмму, на которой вектор, изображающий амплитудное напряжение (U max), расположен под углом к оси токов. Угол, который вектор U max образует с осью токов, показывает, насколько фаза напряжения опережает фазу тока.

Цепь с резистором R и соответствующая ей векторная диаграмма представлены на рис. 15.1.

Рис. 15.1. Цепь переменного тока с резистором и ее векторная диаграмма

Поскольку ток и напряжение изменяются в одинаковой фазе, векторы U max и I max отложены по одной прямой в одном направлении.

В принципе любому переменному току сопутствует электромагнитное излучение. Однако для частот переменного тока, используемых в промышленности, интенсивность такого излучения ничтожно мала, и потерями энергии на электромагнитное излучение пренебрегают. Поэтому работа переменного тока, протекающего через резистор, полностью превращается в его внутреннюю энергию. В связи с этим сопротивление резистора называют активным.

Расчеты показывают, что средняя мощность, выделяемая в резисторе при протекании переменного (гармонического) тока, вычисляется по формулам

Значения переменного тока и напряжения, определяемые формулой (15.7), называются действующими. Существует договоренность

о том, что по умолчанию для цепи переменного тока указывают именно действующие значения. Например, напряжение в бытовой сети переменного тока равно 220 В. Указанное значение 220 В является действующим значением напряжения.

15.3. Конденсатор в цепи переменного тока,

емкостное сопротивление

Включим в цепь переменного напряжения (15.2) конденсатор емкостью С. Вместе с изменением напряжения будет меняться и заряд конденсатора, а в подводящих проводах возникнет ток. Заряд конденсатора связан с напряжением в цепи соотношением (см. формулу 10.16)

Сопротивление конденсатора в цепи переменного тока называют емкостным сопротивлением. Его величину найдем по формулам (15.3, 15.9):

Цепь с конденсатором и соответствующая ей векторная диаграмма представлены на рис. 15.2.

Рис. 15.2. Цепь переменного тока с конденсатором и ее векторная диаграмма

Поскольку напряжение отстает по фазе от тока на π/2, вектор U max повернут относительно оси токов по часовой стрелке (в математике это направление считают отрицательным).

15.4. Протекание переменного тока по идеальной катушке индуктивности, индуктивное сопротивление

Включим в цепь переменного напряжения (15.2) катушку с индуктивностью L, активным сопротивлением которой можно пренебречь. Такую катушку называют идеальной. Вследствие самоиндукции в ней возникнет э.д.с., препятствующая изменению тока в цепи.

Поскольку активным сопротивлением катушки мы пренебрегаем, э.д.с. и напряжение одинаковы: ε = U. Используя формулу (10.15) для э.д.с. самоиндукции, получим дифференциальное уравнение для тока

Цепь с катушкой L и соответствующая ей векторная диаграмма представлены на рис. 15.3.

Рис. 15.3. Цепь переменного тока с катушкой и ее векторная диаграмма

Поскольку напряжение опережает по фазе ток на π/2, то вектор U max повернут относительно оси токов против часовой стрелки (в математике это направление считают положительным).

При протекании переменного тока по конденсатору и идеальной катушке индуктивности не происходит потерь энергии. Эти элементы половину периода забирают энергию из сети и преобразуют ее в энергию электрического и магнитного поля соответственно. Вторую половину периода энергия поля возвращается в сеть, поддерживая ток. В связи с отсутствием потерь энергии емкостное и индуктивное сопротивления называют реактивными.

15.5. Протекание переменного тока по RLC-цепочке, импеданс. Резонанс напряжений

Рассмотрим цепь, состоящую из последовательно соединенных резистора R, катушки индуктивности L и конденсатора С (рис. 15.4). Если на нее подать переменное напряжение (15.2), то ток в цепи будет отставать по фазе от напряжения на некоторый угол φ:

Такая цепь имеет как активное, так и реактивное сопротивления. Поэтому ее сопротивление называют импедансом и обозначают Z.

Импеданс равен отношению амплитудного значения переменного напряжения на концах цепи к амплитудному значению силы тока в ней:

Z = U max /I max .

Рис. 15.4. RLC-цепь в сети переменного тока и соответствующая ей векторная диаграмма

RLC-цепь и соответствующая ей векторная диаграмма представлены на рис. 15.4.

Элементы RLC-цепочки соединены последовательно. Поэтому по ним протекает одинаковый ток, а приложенное напряжение U(t) складывается из напряжений на отдельных участках цепи:

Резонанс напряжений

Если величины L, C и ω подобраны таким образом, что X c = X l , то импеданс Z (формула 15.16) имеет минимально возможное значение, равное R (Z = R). При этом амплитуда тока максимальна, а приложенное напряжение и ток изменяются в одной фазе (φ = 0). Данное

явление называется резонансом напряжений. Подставив в условие резонанса (X C = X L) выражения (15.11), (15.14), получим формулу для расчета резонансной частоты:

RCR- цепочка

Рассмотрим протекание тока по параллельной RCR-цепочке, которая моделирует проводящие свойства биологической ткани (рис. 15.5). Если ее включить в сеть переменного напряжения (15.2), то по нижнему и верхнему участкам будут протекать токи:

Вектор его амплитуды I равен сумме амплитуд I 1 и I 2 , а угол опережения φ показан на рис. 15.5,б.

Приведем без вывода формулу для нахождения импеданса RCR- цепочки:

Рис. 15.5. RCR-цепочка и ее векторная диаграмма

15.6. Импеданс тканей организма. Эквивалентная электрическая схема тканей. Дисперсия импеданса. Реография

Импеданс тканей организма

Электрические свойства тканей организма различны. Органические вещества (белки, жиры, углеводы) являются диэлектриками. В состав тканевых жидкостей входят электролиты.

Ткани состоят из клеток, важной частью которых являются мембраны. Двойной фосфолипидный слой уподобляет мембрану конденсатору.

В организме нет таких систем, которые были бы подобны катушкам индуктивности, поэтому индуктивность его близка к нулю.

Таким образом, импеданс тканей определяется только активным и емкостным сопротивлениями. Наличие в биологических системах емкостных элементов подтверждается тем, что сила тока опережает по фазе приложенное напряжение. Величина угла опережения для разных биологических объектов при частоте 1 кГц приводится в таблице.

Эквивалентная электрическая схема тканей

В общем случае органическую ткань можно рассматривать как клетки, находящиеся в проводящей среде (R 1), роль которой играет, например, межклеточная жидкость (рис. 15.6). Клеточные мембраны обладают емкостными свойствами, а электролиты внутри клетки обладают активным сопротивлением (R 2).

Этому представлению соответствует электрическая схема, рассмотренная в разделе 15.5 (см. рис. 15.5). На рисунке 15.7 показана зависимость импеданса от круговой частоты тока, которая получается из формулы (15.19) после подстановки в нее выражения для

Рис. 15.6. Электрические свойства биологических тканей

Рис. 15.7. Зависимость импеданса от частоты для RCR-цепочки

Дисперсия импеданса

Кривая на рис. 15.7 качественно верно описывает изменение импеданса биологической ткани: плавное уменьшение импеданса при росте частоты. Однако для реальных биологических тканей эта зависимость сложнее. На рисунке 15.8 представлен график частотной зависимости импеданса мышечной ткани, полученный экспериментально (масштаб на вертикальной оси - логарифмический).

На графике четко проявляются три интервала частот, в которых величина Z медленнее меняется с частотой по сравнению с общим ходом кривой. Они названы областями α-, β- и γ-дисперсии соответственно. Им соответствуют три области частот: низкие частоты ν < 10 кГц, радиочастоты ν = 0,1-10 МГц, микроволновые частоты ν > 0,1 ГГц.

Наличие областей α-, β- и γ-дисперсии связано с частотной дисперсией диэлектрической проницаемости (ε = f(v)), от которой зависит величина емкости (см. формулу 10.20). На рисунке 15.9 показаны структурные элементы, вносящие основной вклад в поляризацию ткани на различных частотах:

- α-дисперсия обусловлена поляризацией целых клеток (1, 2) в результате диффузии ионов, что требует относительно большого времени, поэтому данный механизм проявляется при действии электрического поля низкой частоты (0,1-10 кГц). В этой области емкостное сопротивление мембран велико и преобладают токи, протекающие через растворы электролитов, окружающие фрагменты мембран.

Рис. 15.8. Частотная зависимость импеданса биологической ткани

Рис. 15.9. Структурные элементы, вносящие основной вклад в поляризацию ткани

Поляризация клеток - самый медленный процесс среди всех механизмов поляризации. При увеличении частоты поляризация клеток практически полностью прекращается.

- β-дисперсия обусловлена структурной поляризацией клеточных мембран (3), в которой участвуют белковые макромолекулы (4), а на ее верхней границе - глобулярные водорастворимые белки (5), фосфолипиды (6, 7) и мельчайшие субклеточные структуры (8). При этом получаются существенно меньшие значения диэлектрической проницаемости, чем при поляризации целых клеток. Этот механизм поляризации доминирует на частотах 1-10 МГц. При дальнейшем увеличении частоты перестает работать и этот механизм.

- γ-дисперсия обусловлена процессами ориентационной поляризации молекул (9, 10) свободной и связанной воды, а также низкомолекулярных веществ типа сахаров и аминокислот. При этом диэлектрическая проницаемость уменьшается еще больше. Этот механизм поляризации доминирует на частотах выше 1 ГГц.

В частотных диапазонах, соответствующих главным областям дисперсии, происходят наибольшие потери энергии переменного электрического тока (поля). Выделение энергии происходит на том структурном уровне, который отвечает за данную область диспер-

сии. На этом основано действие различных методов физиотерапии с использованием переменных токов и полей.

Импеданс ткани зависит не только от частоты, но и от состояния ткани. Частотная зависимость импеданса позволяет оценить жизнеспособность тканей организма. Это используют при пересадке (трансплантации) тканей и органов. Так, например, определение жизнеспособности трансплантата является одной из первоочередных задач офтальмохирургии. Такая оценка нужна и при определении тактики лечения ожогов роговицы, при кератопластике и кератопротезировании на глазах с бельмом (помутнение роговицы глаза), при наблюдении за течением кератита (воспаление роговицы), для определения пригодности консервативного донорского материала.

Реография

Импеданс тканей и органов зависит от их физиологического состояния и от степени наполнения кровеносных сосудов, проходящих в этих тканях. При наполнении ткани кровью во время систолы полное сопротивление ткани уменьшается, а при диастоле увеличивается. Импеданс изменяется в такт с работой сердца. Это используется в диагностических целях.

Реография - диагностический метод, основанный на регистрации изменения импеданса тканей в процессе сердечной деятельности.

Эти изменения представляются в виде реограммы. Пример реограммы голени здорового человека представлен на рис. 15.10.

Рис. 15.10. Реограмма голени здорового человека

При наполнении сосудов кровью величина электропроводимости тканей изменяется, а вместе с ней изменяется и величина импеданса.

По скорости изменения полного сопротивления можно судить о быстроте притока крови при систоле и оттока крови во время диастолы.

С помощью этого метода получают реограммы головного мозга (реоэнцефалограмма), сердца (реокардиограмма), магистральных сосудов, легких, печени, конечностей. Исследование реограмм применяют в диагностике заболеваний периферических кровеносных сосудов, сопровождающихся изменением их эластичности, сужением артерий и т.д.

15.7. Основные понятия и формулы

Окончание таблицы

15.8. Задачи

1. Напряжение и сила тока в цепи изменяются по закону U = 60sin(314t + 0,25) мВ, i = 15sin(314t) мА. Определить импеданс цепи Z и фазовый угол между током и напряжением.

2. Допустимо ли в цепь переменного тока напряжением 220 В включать конденсатор, напряжение пробоя для которого равно 250 В?

5. Частота переменного тока равна 50 Гц. Сколько раз за секунду напряжение равно нулю?

Ответ: 100 раз.

6. Найти полное сопротивление переменному току, если последовательно включены:

а) резистор сопротивлением R 1 = 3 Ом и катушка с индуктивным сопротивлением X L = 4 Ом;

б) резистор сопротивлением R 2 = 6 Ом и конденсатор с емкостным сопротивлением X C = 8 Ом;

в) резистор сопротивлением R 3 = 12 Ом, конденсатор емкостным сопротивлением X C = 8 Ом и катушка с индуктивным сопротивлением X L = 24 Ом.

Ответ: а) 5 Ом; б) 10 Ом; в) 20 Ом.

7. Сколько времени будет гореть неоновая лампочка, если ее на 1 минуту подключить в сеть переменного тока с действующим напряжением 120 В и частотой 50 Гц. Лампочка зажигается и гаснет при напряжении 84,5 В.

График зависимости U(t) представлен на рис. 15.11.

Рис. 15.11.

На графике обозначено напряжение зажигания лампы U з и соответствующие ему два момента времени: t 1 - время зажигания

лампы, когда мгновенные значения напряжения становятся больше U з; t 2 - время, когда лампочка гаснет, так как мгновенные значения напряжения становятся меньше напряжения U з.Очевидно, что длительность одной вспышки

В течение одного колебания напряжения лампочка загорается 2 раза, так как работа неоновой лампы не зависит от полярности приложенного напряжения (см. рис. 15.11). Поэтому число колебаний напряжения за время t 0 равно (t 0 - ν), а число вспышек за это время h = 2t 0 ? v.

Тогда время, в течение которого светится лампа, равно

8. Неоновая лампа включена в сеть переменного тока с действующим значением 71 В и периодом 0,02 с. Напряжение зажигания лампы, равное 86,7 В, считать равным напряжению гашения. Найти: а) значение промежутка времени, в течение которого длится вспышка лампы; б) частоту вспышек.

Ответ: а) 3,3 мс; б) 100 Гц.

9. Действующее напряжение в электросети 220 В. На какое напряжение должна быть рассчитана изоляция провода?

Решение

Электрическое поле - это вид материи, образующийся вокруг заряженных тел, посредством которого они взаимодействуют друг с другом.

Сила взаимодействия двух точечных зарядов определяется законом Кулона: F = k·q 1 ·q 2 /r 2 . При этом если заряженные тела имеют одинаковые заряды, то они отталкиваются друг от друга, а разноимённые - притягиваются. Заряженные тела взаимодействуют друг с другом посредством их электрических полей.

Выделяют следующие характеристики электрического поля:

1. силовая характеристика - напряжённость электрического поля - это сила, которая действует на единицу заряда, помещённого в данное электрическое поле: E = F/q . Измеряется в [В/м]

Если определённый точечный заряд Q образует электрическое поле, то напряжённость этого поля в точке, находящейся на расстоянии r от заряда вычисляется по формуле: E = Q/(4πε 0 εr 2) где Q - заряд, образующий данное электрическое поле; ε 0 = 8,84*10 -12 Ф/м- электрическая постоянная; ε- электрическая проницаемость среды, в которой образуется поле; r -расстояние от точечного заряда до точки, в которой исследуется напряжённость.

За направление напряжённости принимают направление силы, действующей на положительный заряд.

Величина напряжённости электрического поля графически изображается в виде силовых линий - тех линий, направление касательных к которым в любой точке совпадают с направлением напряжённости электрического поля. Чем больше линий - тем больше напряжённость.

2. энергетическая характеристика электрического поля - потенциал.


В каждой точке электрического поля на внесённый в это поле заряд действует определённая сила. При перемещении заряда в электрическом поле будет совершаться работа. При этом каждая точка электрического поля будет характеризоваться потенциалом.

Потенциал поля в данной точке - это потенциальная энергия электрического поля в этой точке, приходящаяся на единицу помещённого в эту точку заряда: φ = W p /q [В] Потенциал поля характеризует возможную работу, которую совершает электрическое поле или которая совершается над электрическим полем при перемещении этого заряда в точку с другим потенциалом: Δφ = A/q.

Поскольку работа будет совершаться только при перемещении заряда между точками, обладающими неодинаковыми потенциалами, то физический смысл имеет лишь разность потенциалов, или напряжение между двумя точками электрического поля. Поэтому, когда употребляют термин ″потенциал″, имеют в виду разность потенциалов между данной точкой, потенциал которой измеряют, и бесконечно удалённой точкой пространства, потенциал которой можно считать равным 0. При этом потенциал в данной точке поля, созданного точечным зарядом Q , равен: φ = Q/(4πε 0 εγ) и, если потенциал создается большим числом зарядов, то φ = ∑φ.

Только разность потенциалов можно измерить с помощью вольтметра. Считают, что напряженность электрического поля - отрицательный градиент потенциала.

2. Действие электрического поля на вещества

Действие электрического поля на различные вещества неодинаково и зависит от их внутреннего строения. По этому действию все вещества делят на:
- проводники электрического тока
- полупроводники
- изоляторы, или диэлектрики.

Проводники характеризуются тем, что в них под действием электрического поля образуется электрический ток - направленное движение заряженных частиц. Это происходит благодаря тому, что в проводниках имеются свободные заряды. Существуют проводники 1 рода (металлы, в которых есть свободные электроны) и 2 рода (растворы электролитов, в которых свободными зарядами являются положительно заряженные ионы - катионы и отрицательно заряженные ионы - анионы).

Полупроводники при обычной температуре имеют мало свободных зарядов. Причём когда электроны в полупроводниках становятся свободными, то на их месте образуется дырка - избыток положительного заряда. Поэтому носителями заряда в полупроводниках являются электроны и дырки.

В диэлектриках нет свободных носителей зарядов, поэтому под действием электрического поля в них не возникает электрического тока, но возникает явление, называемое поляризацией диэлектрика - приобретение диэлектриком полярности за счёт разделения в нём положительных и отрицательных зарядов под действием электрического поля. Поляризация существует в 3 вариантах: ориентационная, электронная и ионная.

Указанные различия хорошо описываются зонной теорией твёрдых тел, или квантовой теорией энергетического спектра электронов в кристалле. Согласно теории в кристалле существуют запрещённые и разрешённые энергетические зоны для электронов. Нижние зоны заполнены полностью электронам. Физические свойства кристаллов определяются верхними зонами, содержащими электроны. Если между верхней зоной и следующей разрешённой зоной запрещённая зона узкая (энергетический интервал невелик), то вещество является проводником, а если запрещённая зона велика - то диэлектриком.

3. Электрический ток

Основной характеристикой электрического тока является сила тока - количество заряда, пересекающее поперечное сечение проводника за единицу времени. I ср = Δq/Δt или для мгновенной силы тока: I = dq/dt. Единицей измерения силы тока является ампер (A ). 1 ампер - сила тока, когда заряд 1 кулон проходит через поперечное сечение проводника за 1 секунду. Часто используют миллиампер (мА ). 1 мА = 0,001 A . Обычно за направление электрического тока в проводнике принимают направление движения положительных зарядов.

Другой величиной, характеризующей электрический ток, является плотность тока - сила тока, приходящаяся на единицу площади проводника. Измеряется в амперах на квадратный метр: J = I/S.

Различают:

- Постоянный ток - электрический ток, параметры которого (сила и направление) не изменяются во времени. Источниками постоянного тока являются генераторы, которые поддерживают постоянную разность потенциалов на концах проводника.

Переменный ток - электрический ток, параметры которого изменяются во времени по закону синуса или косинуса. Электрический ток, передаваемый в потребительской электросети, представляет собой синусоидальное колебание частотой 50 Гц : I = I max ·cos(ωt + φ 0).

Основным законом, описывающим постоянный электрический ток, является закон Ома: сила тока в проводнике прямо пропорциональна разности потенциалов между его концами, или электрическому напряжению (U ): I = U/R.

Величина R называется электрическим сопротивлением . Сопротивление является свойством проводников препятствовать прохождению через него электрического тока, при этом электрическая энергия превращается в тепловую энергию. Сопротивление возникает из-за столкновения заряженных частиц (носителей тока) с внутренними структурами проводника - атомами и молекулами. Единицей измерения сопротивления является Ом . Обратная величина сопротивлению называется электрической электропроводностью (D ).

Для многих веществ сопротивление является постоянной величиной, независимой от силы тока. Сопротивление проводника является функцией его размера, формы, строения и температуры. Величина сопротивления провода: R = ρ(1/S) (5)

Где l - длина проводника, S - площадь поперечного сечения проводника. Константа прямой пропорциональности ρ называется удельным сопротивлением [ом·м] . Она зависит только от свойств вещества и температуры. Обратной величиной удельному сопротивлению является удельная электропроводность (γ ) [ом -1 ·м -1 ] .

На основе удельной электропроводности характеризуют свойство веществ проводить электрический ток. Хорошие проводники тока имеют высокую удельную электропроводность. Изоляторы, или диэлектрики, имеют низкую удельную электропроводность. Полупроводники имеют промежуточную удельную электропроводность. Используя удельную электропроводность, как характеристику вещества, можно представить закон Ома в другой форме: J = γ E.

Из формулы следует, что плотность тока в проводнике прямо пропорциональна напряженности электрического поля (Е ), создающего этот ток, и удельной электропроводности вещества проводника (γ ).

Удельная электропроводность электролитов и биологических тканей

Плотность тока в растворе электролитов определяется электрическим зарядом положительных и отрицательных ионов, их концентрациями и скоростями движения в электрическом поле: J = q + n + v + + q - n - v.

Если принять, что концентрация и величина электрического заряда положительных и отрицательных ионов равны, то J = qn(v + + v -)(8)

Скорость v ионов пропорциональна напряженности электрического поля E и зависит от подвижности ионов u , которая, в свою очередь, является функцией размера, степени гидратации ионов, вязкости растворителя:
v = uE (9)
Тогда J = qn(u + + u -)·E (10).

Это выражение является законом Ома для растворов электролитов .

Хотя сопротивление биологических тканей постоянному электрическому току велико, и по удельной электропроводности биологические ткани близки к диэлектрикам, для объяснения различий в электропроводности различных тканей, их рассматривают как проводники 2 рода, носителями заряда в которых служат ионы.

Биологические ткани не различаются существенно по их ионному составу, но отличаются условиями ионного перемещения. Поэтому ткани разнородны с точки зрения их электрических свойств. Мембраны клеток препятствуют перемещению ионов. Их электрическое сопротивление является наибольшим. Кровь, лимфа, цереброспинальная жидкость характеризуются низким сопротивлением электрическому току. Внутренние органы, содержащие много воды (мышцы, печень, почки, и т.п.), также имеют сравнительно низкое сопротивление. Но сопротивление таких тканей, как кожа и кости, очень высокое. Постоянный электрический ток плохо проникает через сухую кожу. Он распространяется в теле человека, главным образом, вдоль кровеносных и лимфатических сосудов и через мышцы.

Причиной высокого сопротивления биологических тканей постоянному электрическому току - наличие статической ёмкости вследствие изоляционных свойств мембран и явления поляризации, происходящие в клетках, в результате которых возникает встречная эдс, препятствующая прохождению через ткань тока. Причём при малых значениях силы тока он не проходит через ткань вследствие влияния этой ЭДС, а при больших - происходит дезинтеграция (разрушение) клеточных структур, в результате чего сопротивление падает, однако дальнейшие исследования не имеют смысла.

Поляризация - разделение положительных и отрицательных зарядов. многие полагают, что явление поляризации связано с наличием полупроницаемых мембран. Под действием электрического поля ионы начинают перемещаться, но не могут проникнуть через мембрану, в результате у внутренней поверхности мембраны возникает разделение зарядов. Внутри клетки образуется поляризационное поле. Как только его напряженность компенсирует внешнее поле перемещение ионов прекращается. Соответственно этому на внешней стороне мембраны концентрируются противоположно заряженные частицы.

Другие, рассматривая клетки как слоистый диэлектрик, рассматривают явления поляризации как результат гетерогенности клеточных элементов по электропроводности, а также поляризацию связывают с дипольными молекулами (ориентация диполей вдоль силовых линий поля).

Постоянный ток используют в медицинской практике, для реализации двух методов - гальванизации и лекарственного электрофореза.

Гальванизация

Гальванизация - метод терапии, основанный на применении постоянного электрического тока. Метод назван в честь итальянского врача и ученого Луиджи Гальвани - основоположника изучения электрических токов, генерируемых биологическими тканями.

Метод гальванизации состоит в пропускании постоянного тока через определенные области тела человека. Величина напряжения должна составлять не более 50-80 Вольт. Под электроды, изготовленные из металла, помещают увлажненные фланелевые прокладки. Величина силы тока может составлять от нескольких миллиампер до 50 миллиампер. Но плотность тока не должна превышать 0,1 миллиампер на квадратный сантиметр. Ток не должен беспокоить пациента.

Неорганические ионы и ионы воды перемещаются под действием электрической поля. Подвижность органических ионов значительно меньше, чем неорганических ионов. Наибольшие изменения при гальванизации происходят в мембранах клеток. Они состоят в осуществлении электрохимических процессов, которые изменяют поляризацию мембраны и влияют на проницаемость мембраны и величину трансмембранного потенциала. Эти процессы стимулируют рецепторы, вызывают различные физиологические реакции и изменения метаболизма. Гальванизация используется по большей части для лечения системных болезней нервной системы.

Лекарственный электрофорез

Гальванизация обычно сопровождается лекарственным электрофорезом. В этом методе постоянный электрический ток используют для введения лекарств в ткани тела с терапевтическими целями. Большое число лекарственных препаратов способны диссоциировать в водных растворах на положительные и отрицательные ионы. Среди таких лекарств: соли, антибиотики, местные анестетики, алкалоиды и много другие. Электрическое поле заставляет их перемещаться: положительные ионы (катионы) к отрицательному электроду (катоду) и наоборот. Под влиянием электрического поля лекарства могут проникать через неповрежденную кожу. Основными путями ионов, проникающих через кожу, являются каналы потовых желез. Наибольшая часть ионов проникает через межклеточное пространство, меньшая - через клетки. Лекарства концентрируются, главным образом, в коже и подкожной ткани и формируют депо. Локальная концентрация лекарств в таком депо может быть сравнительно высокой. Оттуда лекарства медленно поглощаются в кровь, что способствует продлению лечебного эффекта.

Переменный ток. Полное сопротивление

Электрические цепи переменного тока включают такие основные электрические компоненты как резисторы, конденсаторы и индукторы. Их специфические свойства - сопротивление, емкость и индуктивность.

Емкость. Если два проводника (пластины металла) разделены посредине изоляцией, они способны накапливать некоторое количество электрического заряда. Величина, равная отношению суммарного заряда, накопленного на пластинах, к разности потенциалов между пластинами называется емкостью (измеряется в Фарадах (F) : C = q/U (13).

Индуктивность. Индуктивность L связана с наличием магнитного поля вокруг провода или катушки, через которые проходит электрический ток. Переменное магнитное поле порождает эдс (электродвижущую силу) самоиндукции, которая препятствует изменению силы тока в проводнике:
ε = -L·dl/dt (14), где ε - электродвижущая сила, dl/dt - мгновенная скорость изменения силы тока, L - индуктивность, которая зависит от геометрии цепи и от магнитных свойств вещества проводника и среды. Индуктивность измеряется в Генри (Г) .

Реактанс (или реактивное сопротивление). Ранее упоминалось, что сопротивление является свойством электрической цепи препятствовать прохождению через нее электрического тока и что электрическая энергия при этом превращается в тепловую. Реактанс - мера сопротивления переменному электрическому току. Реактанс связан с емкостью и индуктивностью некоторых частей цепи. Он не превращает электрическую энергию в энергию тепла. Реактанс присутствует дополнительно к сопротивлению, если через проводники протекает переменный ток. Когда в цепи течет постоянный электрический ток, то он подвергается только активному сопротивлению , но не реактансу. Реактанс бывает двух типов: индуктивный и емкостной.

Емкостной реактанс X C является обратной величиной произведения угловой (циклической) частоты тока и емкости этой части цепи: X C = 1/(ω·C)(15).

Индуктивный реактанс X L равен произведению угловой частоты переменного тока на индуктивность проводника: X L = ωL (16).

Доказано, что индуктивный реактанс приводит к тому, что изменения напряжения в электрической цепи опережают изменения силы тока на четверть периода (π/2). Это можно объяснить тем, эдс самоиндукции препятствует нарастанию силы тока в цепи.

Наоборот, емкостной реактанс приводит к тому, что изменения напряжения в электрической цепи отстают от изменения силы тока на четверть цикла (π/2). На рис. 3. проиллюстрировано данное явление.

Поэтому общий реактанс X представляет собой разность индуктивного и емкостного реактансов: X = X L - X C .

Если суммировать активное сопротивление и общий реактанс, который препятствует прохождению переменного тока в электрической цепи, получим величину, которая называется полным сопротивлением Z - импедансом :

Биофизические основы реографии

Реография - метод, который позволяет измерять кровенаполнение конечностей, мозга, сердца и многих других органов.

Когда некоторый объем крови протекает через сосуды любого органа в течение систолы, объем этого органа увеличивается. Такие изменения объема изучались в прошлом с помощью, так называемой, плетизмографии , которая была основана на механических измерениях. Но возможности этого метода были ограничены. Он мог применяться только для изучения кровенаполнения верхних конечностей.

Позже было обнаружено, что при изменении количества крови в сосудах органов, изменяется их электрическое сопротивление. Это изменение определяется формулой Кедрова:

Здесь V - объем органа и ΔV - изменение объема в течение систолы, R - активное сопротивление и - ΔR изменение активного сопротивления органа в течение систолы, k - коэффициент прямой пропорциональности. ΔR имеет отрицательное значение, поскольку электрическое сопротивление крови меньше, чем сопротивление мышц, соединительной ткани, кожа и т.п. Поэтому активное сопротивление органов уменьшается в течение систолы и растет в течение диастолы.

Изменение активного электрического сопротивления вызывает изменение полного сопротивления. По техническим причинам более удобно измерять именно изменения импеданса, чем изменения активного сопротивления постоянному току. В реографии кинетика полного сопротивления тела человека отражает частоту и объем локального кровенаполнения органов.

Для измерения изменения полного сопротивления биологического объекта, через него пропускают переменный ток высокой частоты. Оптимальная частота, применяемая в реографии - 100 - 500кГц. При частотах выше 500 кГц сглаживаются различия в удельной электропроводности между кровью и окружающими тканями. Изменения полного сопротивления являются очень небольшими, их величина составляет: 0,08Ом для голени и предплечья, 0,1Ом для плеча и ступни.

Основная (интегральная) реограмма отражает изменение импеданса исследуемого органа при кровенаполнении. Возрастающая часть кривой возникает вследствие систолы, а нисходящая - вследствие диастолы. Обычно одновременно записывается дифференциальная реограмма . Она является производной первого порядка по времени интегральной реограммы и описывает скорость изменения кровенаполнения исследуемого органа.

Реография применяется для изучения кинетики полного электрического сопротивления различных органов: сердца (реокардиография), мозга (реоэнцефалография), печени (реогепатография), глаза (реоофтальмография) и т.п.

Рассмотрим электрическую цепь, состоящую из последовательно соединенных конденсатора емкостью С, катушки с индуктивностью L, электрического сопротивления R и ключа К, рис. 56 .

Если при разомкнутом ключе К конденсатор зарядить до разности потенциалов пометка">I, изменяющийся с течением времени I = I(t).

Мгновенные значения силы I переменного тока должны удовлетворять всем законам, установленным выше для цепей постоянного тока. Такие переменные токи называют квазистационарными.

Найдем вид зависимости силы квазистационарного тока от времени, считая, что электрические сопротивления катушки, соединительных проводов и ключа равны нулю.

По закону Ома для участка цепи 1LR 2 имеем

формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/117-1.gif" border="0" align="absmiddle" alt=" - соответственно мгновенные значения силы тока в цепи, разности потенциалов, алгебраической суммы ЭДС, действующих на участке.

На участке цепи 1LR 2 приложена только ЭДС самоиндукции, возникающая в катушке при протекании в ней переменного тока..gif" border="0" align="absmiddle" alt="

Если заряд на обкладках конденсатора в начальный момент времени t =0 был q, то сила убывающего тока в цепи I:

формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/117-5.gif" border="0" align="absmiddle" alt="

Разность потенциалов между обкладками конденсатора

формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/117-7.gif" border="0" align="absmiddle" alt="

По своей форме это дифференциальное уравнение аналогично дифференциальному уравнению свободных затухающих колебаний математического или физического маятников

формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/118.gif" border="0" align="absmiddle" alt=" - собственная частота незатухающих колебаний, пометка">m является индуктивность L, аналогом коэффициента сопротивления r - сопротивление цепи R, аналогом коэффициента упругости пружины k (или коэффициента квазиупругой силы) - величина, обратная емкости С.

Решение уравнения (13.4) имеет следующий вид:

формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/118-3.gif" border="0" align="absmiddle" alt="

Таким образом, при замыкании заряженного конденсатора на цепь, состоящую из последовательно соединенных индуктивности и электрического сопротивления, заряд на обкладках конденсатора совершает затухающие колебания. Поэтому изображенная на рис. 56 цепь получила название колебательного контура.

Период затухающих колебаний в колебательном контуре равен

формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/118-5.gif" border="0" align="absmiddle" alt=" обращается в бесконечность пометка">R постепенно уменьшать, то затухание колебаний в нем также уменьшится. В пределе при R = 0 свободные электромагнитные колебания становятся незатухающими. Период свободных незатухающих колебаний равен

опред-е">формулой Томсона.

Рассмотрим переходные процессы в замкнутой электрической цепи, состоящей из источника тока, ключа К, катушки L с большим числом витков и гальванометра, при замыкании и размыкании ключа (рис. 57 ).

Если разомкнуть ключ К, то сила тока i в витках, а следовательно, и магнитный поток Ф, который пронизывал витки катушки, будут убывать..gif" border="0" align="absmiddle" alt=", называют экстратоками самоиндукции. В данном случае в контуре возникает экстраток размыкания I . Согласно правилу Ленца, экстратоки всегда направлены так, чтобы препятствовать изменениям тока в цепи i . Гальванометр в этом случае дает отброс стрелки в противоположном к первоначальному направлению.

При замыкании ключа К в цепи происходит нарастание магнитного потока. В витках катушки возникает экстраток замыкания I, который имеет такое направление, чтобы препятствовать нарастанию тока i .

Найдем закон, по которому изменяется ток в цепи при размыкании ключа К. Пусть в цепи течет постоянный ток пометка">t = 0 разомкнем цепь, ток через катушку индуктивности будет уменьшаться, что приведет к возникновению формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/120-2.gif" border="0" align="absmiddle" alt=" Приравнивая ЭДС самоиндукции из разных уравнений, получим

формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/120-4.gif" border="0" align="absmiddle" alt="

Интегрируя это выражение по I и t, получим

формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/120-6.gif" border="0" align="absmiddle" alt="

Таким образом, при отключении источника тока, сила тока в контуре убывает по экспоненциальному закону (рис. 58 ). Время, в течение которого сила тока уменьшается в е раз, называют временем релаксации пометка">L и меньше электрическое сопротивление R, тем больше время релаксации пометка">I = 0 до установившегося значения формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/121-2.gif" border="0" align="absmiddle" alt=".

Рассмотрим цепь, содержащую индуктивность L, сопротивление R, источник ЭДС пометка">К (рис. 59 ).

Пусть в исходном состоянии ключ находился в положении 1. При переводе ключа в положение 2 в цепи действует только ЭДС самоиндукции, которая поддерживает ток. Элементарная работа при этом

пометка">I до 0, найдем полную работу за время протекания тока:

формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/Wm.gif" border="0" align="absmiddle" alt=":

формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/122-2.gif" border="0" align="absmiddle" alt=" Умножив это равенство на Idt, найдем работу источника ЭДС:

пометка">dI пометка">dI =0), энергия источника расходуется только на джоулеву теплоту, но в катушке поддерживается запас энергии магнитного поля. При переводе ключа в положение 2 она идет на работу тока и постепенно убывает.

Для соленоида на основании (12.6) и (13.6) энергия магнитного поля

формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/122-5.gif" border="0" align="absmiddle" alt="

где различные выражения получены с учетом, что пометка">Электрический ток, возникающий под действием ЭДС, которая изменяется по гармоническому закону, называется переменным током.

Переменный ток - это вынужденные колебания тока в электрических цепях.

Электрическое сопротивление любого реального колебательного контура отлично от нуля. Поэтому свободные электромагнитные колебания постепенно затухают. Для получения незатухающих электромагнитных колебаний необходимо извне подводить энергию, компенсирующую потери. В этом случае в контуре будут осуществляться вынужденные электромагнитные колебания (рис. 60 ).

Роль вынуждающей силы в колебательном контуре выполняет источник тока, обладающий периодически изменяющейся ЭДС.

Пусть ЭДС меняется по гармоническому закону

пометка">L возникает ЭДС самоиндукции формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/123-2.gif" border="0" align="absmiddle" alt="

Тогда ЭДС источника тока можно представить как сумму падений напряжений:

формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/123-4.gif" border="0" align="absmiddle" alt="

Напряжение на емкостном сопротивлении формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/123-6.gif" border="0" align="absmiddle" alt="

Вместо действия трех полей на одно активное сопротивление мы рассматриваем действие одного внешнего поля на три сопротивления: активное R и два реактивных - емкостное формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/Xl.gif" border="0" align="absmiddle" alt=".

Переменный ток, текущий через резистор R

опред-е">резонансом напряжений, а частота опред-е">резонансной частотой.

Явление резонанса напряжений необходимо учитывать при расчете изоляции электрических линий, содержащих катушки индуктивности и конденсаторы, так как иначе может наблюдаться их пробой.

Резонанс электромагнитных колебаний лежит в основе всей радиотехники. Однако резонансное поглощение электромагнитных колебаний существует и при значительно более высоких частотах, чем радиотехнические. Колебательная система может быть образована, например, кристаллической решеткой поваренной соли. Под действием переменного электрического поля она резонирует на частотах подзаголовок">Контрольные вопросы и задачи

1. Нарисуйте схему электрического колебательного контура. Чему равна частота собственных незатухающих колебаний в таком контуре?
2. Чему равна частота затухающих электромагнитных колебаний?
3. Дайте определение переменному электрическому току.
4. Какую роль в колебательном контуре играет источник тока с переменной ЭДС?
5. Запишите полное сопротивление в цепи переменного тока.
6. Что называется экстратоками замыкания и размыкания?
7. По какому закону изменяется сила тока в цепи при размыкании?
8. От чего зависит скорость изменения тока в цепи при замыкании или размыкании цепи?
9. Покажите, что магнитное поле обладает энергией и найдите выражение для объемной плотности энергии магнитного поля.
10. Определите, через сколько времени сила тока замыкания достигнет 0,95 предельного значения, если источник тока замыкают на катушку сопротивлением R =12 Ом и индуктивностью L =0,5 Гн.
11. Что называется переменным электрическим током?
12. Нарисуйте электрическую схему, в которой можно получить вынужденные электромагнитные колебания.